Оценка линейной регрессии

Самое важное по теме: "оценка линейной регрессии" с профессиональной точки зрения. Мы собрали, агрегировали и представили в доступном виде всю имеющуюся по теме информацию и предлагаем ее к прочтению.

1.2. Оценка параметров линейной регрессии

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

(или ) (3)

Первое выражение позволяет по заданным значениям фактора храссчитать теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения факторах.На графике теоретические значения лежат на прямой, которые представляют собой линию регрессии.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров — аиb.Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров аиb, при которых сумма квадратов отклонений фактических значенийу от теоретических минимальна:

, или(4)

Для нахождения минимума надо вычислить частные производные суммы (4) по каждому из параметров — а иb и приравнять их к нулю.

(5)

Преобразуем, получаем систему нормальных уравнений:

(6)

В этой системе n объем выборки, суммы легко рассчитываются из исходных данных. Решаем систему относительноаиb, получаем:

(7)

(8)

Выражение (7) можно записать в другом виде:

(9)

где соv(х,у) — ковариация признаков, — дисперсия факторах.

Параметр bназывается коэффициентом регрессии.Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение парной регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально а значениеуприх=0.Еслихне имеет и не может иметь нулевого значения, то такая трактовка свободного членаане имеет смысла. Параметраможет не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать его могут привести к абсурду, особенно приа 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Сравним эти относительные изменения:

при.

Иногда линейное уравнение парной регрессии записывают для отклонений от средних значений:

где

,.При этом свободный член равен нулю, что и отражено в выражении (10). Этот факт следует из геометрических соображений: уравнению регрессии отвечает та же прямая (3), но при оценке регрессии в отклонениях начало координат перемещается в точку с координатами. При этом в выражении (8) обе суммы будут равны нулю, что и повлечет равенство нулю свободного члена.

Рассмотрим в качестве примера по группе предприятий, выпускающих один вид продукции, регрессионную зависимость издержек от выпуска продукции у = a + bx + ε.

Выпуск продукции тыс.ед.(x)

Затраты на производство, млн.руб.(y)

Оценка линейной регрессии

Докажем, что полученные в предыдущем параграфе оценки коэффициентов линейной регрессии Y на X определяют такую прямую линию, что сумма квадратов отклонений величины 7 от этой прямой имеет минимальное значение, по сравнению с суммой квадратов отклонений величины 7 от любой другой прямой. [c.99]

При оценке значимости коэффициента линейной регрессии на начальном этапе можно использовать следующее «грубое» правило, позволяющее не прибегать к таблицам. [c.122]

При оценке парной линейной регрессии Y = (Зо + PiX + s по МНК получена завышенная оценка t>i коэффициента (Зь Какая оценка в этом случае более вероятна для коэффициента PQ завышенная, заниженная или несмещенная Ответ поясните графически. [c.136]

При оценке значимости коэффициента линейной регрессии можно использовать следующее грубое правило. Если стандартная ошибка коэффициента больше его модуля (t хь, хв. Между собой они причинно не связаны. В соответствии с нормами технических условий из общей массы выделялись годные приборы и анализировалась как вся масса приборов, так и годные. Это позволило попытаться уловить различие во взаимосвязи параметров приборов до и после их отбраковки. Эмпирические корреляционные отношения рассчитывались только для годных приборов, поскольку разброс параметров для всей совокупности приборов был настолько велик, что подсчитывать корреляционные отношения не имело смысла. Доверительные интервалы ввиду большого объема выборки подсчитывались по формуле [37]. Сравнение парных коэффициентов корреляции с эмпирическими отношениями использовалось для проверки линейности связи между параметрами. Эмпирическому корреляционному отношению приписывается тот знак, который имеет парный коэффициент корреляции. Связь считается линейной, если корреляционное отношение попадает в доверительный интервал для парного коэффициента корреляции. Может показаться, что мы противоречим высказанному выше утверждению о том, что не существует формальных методов, позволяющих определить форму связи. Однако в данном случае мы говорим не об определении формы связи с целью, например, нахождения параметров уравнения регрессии и дальнейшей интерпретации или экстраполяции в каком-либо виде. Единственная наша забота состоит в том, чтобы парные коэффициенты корреляции (или иные оценки тесноты связи) были действительными характеристиками связи. В табл. 94 приведены в первой строке каждой клетки — парный коэф- [c.188]

Читайте так же:  Как понять что девушка ждет

Если при решении той или иной задачи можно ограничиться линейным приближением, то полный факторный эксперимент типа 2 также оказывается недостаточно эффективным, особенно при большом k. При линейном росте числа независимых переменных число опытов для полного факторного эксперимента растет по показательной функции, в результате слишком много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Например, при k = 2, при линейном приближении, для проверки гипотезы адекватности используется только одна степень свободы, тогда как при k = fj — уже 57 степеней свободы. Правда, при постановке таких больших экспериментов резко снижается ошибка в определении коэффициентов регрессии, так как при факторном планировании все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов регрессии. Но это обстоятельство далеко не всегда является достаточным основанием для постановки большого числа опытов. Часто, особенно на первых этапах исследования, бывает нужно получить некоторую, хотя бы и не очень точную, информацию о процессе при минимальной затрате труда на проведение экспериментов. Если можно ограничиться линейным приближением, то число опытов можно резко снизить, используя для планирования так называемые дробные реплики от полного факторного эксперимента [1]. [c.215]

Вопрос о выборе способа численного решения имеет смысл лишь в том случае, когда погрешность вычисления оценок коэффициентов регрессии на ЭВМ сравнима по величине с их статистическим разбросом, который определяется формулой (8.8). Необходимым для этого условием, как мы увидим далее, является наличие мультиколлинеарности. Но при выраженной мультиколлинеарности с точки зрения статистической устойчивости оценок лучше переходить к решению регуляризован-ных (тем или иным способом) систем уравнений (8.60), (8.60 ), (8.60″), (8.60″ ). Для систем нормальных уравнений методами регуляризации будут уже рассмотренные метод главных компонент (см. 8.2) и гребневая регрессия (см. 8.5). 8.6.2. Оценки величин возмущений для решений центрированной и соответствующей ей нормальной системы уравнений. Пусть А в = С некоторая система линейных уравнений, матрица А которой имеет размерность q X k (k не обязательно равно q), 6 — вектор размерности fe, правая часть С — вектор размерности q. [c.273]

Айвазян С. А., Розанов Ю. А. Некоторые замечания к асимптотически-эффективным линейным оценкам коэффициентов регрессии. — Труды Математического института им. В. А. Стек-лова АН СССР, 1964, т. LXXI, с. 24—36. [c.460]

В шестой главе описывается метод наименьших квадратов нахождения оценок параметров уравнения множественной линейной регрессии. Рассматриваются узловые моменты анализа качества построенного уравнения регрессии (эконометрической модели). Приводится схема оценки значимости коэффициентов регрессии. Исследуются различные аспекты использования коэффициента детерминации. Обозначается достаточно острая проблема, встречающаяся в эконометри-ческих моделях, — проблема автокорреляции остатков. [c.8]

Как известно, при выполнении определенных предпосылок МНК дает наилучшие линейные несмещенные оценки (BLUE-оценки). Причем свойство несмещенности и эффективности оценок остается в силе даже, если несколько коэффициентов регрессии оказываются статистически незначимыми. Однако несмещенность фактически означает лишь то, что при многократном повторении наблюдений (при постоянных объемах выборок) за исследуемыми величинами средние значения оценок стремятся к их истинным значениям. К сожалению, повторять наблюдения в одинаковых условиях в экономике практически невозможно. Поэтому это свойство ничего не гарантирует в каждом конкретном случае. Наименьшая возможная дисперсия вовсе не означает, что дисперсия оценок будет мала по сравнению с самими оценками. В ряде случаев такая дисперсия достаточно велика, чтобы оценки коэффициентов стали статистически незначимыми. [c.247]

В скобках указаны стандартные ошибки соответствующих коэффициентов. Можно отметить, что статистическое качество полученного уравнения регрессии практически идеально. Все г-статистики превышают 5 по абсолютной величине (а, грубо говоря, границей для очень хорошей оценки является 3). Очень высока доля дисперсии зависимой переменной, объясненная с помощью уравнения регрессии, — 94,2% — особенно с учетом того, что уравнение регрессии связывает относительные величины, не имеющие выраженного временного тренда. Статистика Дарбина-Уотсона ЯИ очень близка к 2, и, даже не прибегая к таблицам, здесь ясно, что гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков первого порядка будет принята при любом разумно малом уровне значимости. Итак, мы имеем хороший пример линейной регрессии, когда можно оценить ее статистическую значимость, не прибегая к таблицам распределений Стьюден-та, Фишера или Дарбина-Уотсона, а лишь по общему порядку полученных статистик. [c.330]

[3]

Отметим, что мы не вводим четвертую бинарную переменную бЦ, относящуюся к осени, иначе тогда для любого месяца t выполнялось бы тождество dt + dfz + dt + 4 = 1, что означало бы линейную зависимость регрессоров в (4.3) и, как следствие, невозможность получения МНК-оценок. (Такая ситуация, когда сумма фиктивных переменных тождественно равна константе, также включенной в регрессию, называется dummy trap .) Иными словами, среднемесячный объем потребления есть 0о для осенних месяцев, 0о+01 — для зимних, 00+02 для весенних и 0о+0з — для летних. Таким образом, оценки коэффициентов 0j, г = 1,2,3, показывают средние сезонные отклонения в объеме потребления по [c.114]

Читайте так же:  Тремор рук причины лечение препараты

Здесь ut = t — Ae -i- Уравнение (11.9) линейно по комбинациям параметров, через которые эти параметры можно выразить. Однако (11.9) содержит лагированную эндогенную переменную и ошибки, не удовлетворяющие условиям классической модели линейной регрессии. Поэтому можно показать, что МНК-оценки коэффициентов уравнения являются несостоятельными. Для получения состоятельных оценок можно применить метод инструментальных переменных (п. 8.1), взяв, например, Xt— в качестве инструмента для yt-i, или воспользоваться методом максимального правдоподобия (глава 10). [c.268]

Поскольку к моменту появления теоретических моделей распределения налогового бремени, вычислительные мощности не позволяли строить большие эмпирические модели общего равновесия, делались попытки проверки выводов теоретических моделей на основе регрессионного анализа. Подобный подход к исследованию перемещения налогового бремени используется, в частности, в работе Krzyzaniak, Musgrave (1963). В этой работе исследуется зависимость посленалоговой доходности капитала от отношения налоговых обязательств корпоративного сектора к объему капитала, а также от эффективной ставки налогообложения прибыли. Авторы проводили оценку линейной регрессии методом инструментальных переменных, в которой отношение налоговых обязательств к объему капитала использовалось как объясняющая переменная, а эффективная ставка налогообложения прибыли — в качестве инструмента. Соответствующий коэффициент при эффективной ставке в указанной зависимости, полученный авторами, при оценке на интервале 1935-1959 гг. оказался равным 1,43. Таким образом, бремя налогообложения капитала более чем полностью перемещено, т.е. владельцы капитала фактически выигрывают, получая больший доход вследствие роста ставки налогообложения прибыли. [c.86]

Мы предпочитаем оценки коэффициентов регрессии у г, которые эффективны и для которых можно проверить значимость. Оценки эффективны, если они являются наилучшими линейными несмещенными оценками (НЛНО). Термин наилучшие относится к свойству минимальности дисперсии. Оценки обобщенного МНК, будут такими оценками (НЛНО), но они требуют знания ковариационной матрицы ошибок наблюдений (2г и 2 в (2.8) и (2.17) в дополнении 2). К сожалению, нам ковариационная матрица неизвестна. Мы можем оценить элементы этой матрицы. (Ее диагональные элементы, т. е. дисперсии, оцениваются величинами sfr, обобщенный МНК для системы уравнений также требует оценивания ковариаций эти ковариации не оценивались в данном эксперименте, но они оценивались в дополнительном эксперименте.) Замена ковариационной матрицы в обобщенном методе ковариационной матрицей оценок позволяет получить несмещенные оценки 7о-> но эти оценки не лучше оценок (НЛНО). Мы не знаем, имеют ли они еще и меньшую дисперсию, чем обычные МНК-оценки (сравните с литературой)9. Мы знаем, что МНК-оценки обладают преимуществом простоты вычислений, поскольку при ортогональной матрице независимых переменных не нужна обратная матрица. Обращение матрицы с помощью ЭВМ может приводить к значительным ошибкам [c.300]

Оценка качества линейной модели множественной регрессии

Качество модели оценивается стандартным способом для уравнений регрессии: по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии ε.

Как и в случае парной линейной регрессии, коэффициент детерминации можно вычислить по формуле (2.9), индекс корреляции R (в случае линейной множественной регрессии он называется коэффициентом множественной регрессии) по формуле (2.10), среднюю относительную ошибку

по формуле (2.11). Процедура проверка значимости уравнения регрессии в целом также производится аналогично случаю парной регрессии. Вычисляется F-критерий Фишера по формуле (2.12), затем определяется критическое значение и сравнивается с расчётным значением.

Произведём оценку качества модели (3.8) с использованием ряда остатков, приведённого в Таблице 6 и промежуточных результатов расчётов из Таблицы 2.

.

Исходя из полученного значения коэффициента детерминации, можно сказать, что в рамках линейной модели множественной регрессии изменение объёма продаж на 91% объясняется изменением температуры воздуха и торговой наценки.

.

Следовательно, связь между исследуемой переменной и используемым набором факторов тесная.

.

Критическое значение

. Расчётное значение F-критерия больше критического, поэтому мы можем утверждать, что уравнение регрессии (3.8) является значимым.
Читайте так же:  Невербальные средства профессионального общения

Средняя относительная ошибка аппроксимации составила 63,73%, то есть точность модели следует признать неудовлетворительной и дальнейшее использованием модели признать нецелесообразным.

Оценка линейной регрессии

Несмещенность оценок параметров регрессии. Оценка параметров регрессии называется несмещенной, если для любого фиксированного числа наблюдений выполняется равенство математического ожидания параметра и значения параметра регрессии. Надо отметить, что оценки, полученные методом наименьших квадратов, обладают свойством несмещенности. [c.149]

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии Ь средняя ошибка оценки вычисляется как [c.247]

Оценка параметров уравнений регрессии (а0, о1 и о2 — в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности. [c.115]

Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (3.21) взята выборка, содержащая п пар значений [c.60]

Вариации оценок параметров будут в конечном счете определять точность уравнения множественной регрессии. Для их [c.91]

В предыдущих главах была изучена классическая линейная модель регрессии, приведена оценка параметров модели и проверка статистических гипотез о регрессии. Однако мы не касались некоторых проблем, связанных с практическим использованием модели множественной регрессии. К их числу относятся мультиколлинеарность, ее причины и методы устранения использование фиктивных переменных при включении в регрессионную модель качественных объясняющих переменных, линеаризация модели, вопросы частной корреляции между переменными. Изучению указанных проблем посвящена данная глава. [c.108]

Решение. По формуле (4.8) найдем вектор оценок параметров регрессионной модели b =(3,515 —0,006 15,542 60,110 4,475 —2,932), так что в соответствии с (4.9) выборочной уравнение множественной регрессии имеет вид [c.113]

По формуле (4.8) найдем вектор оценок параметров регрессии 6=(-1,165 0,743 0,466). [c.120]

[1]

При достаточных объемах выборок можно было, например, построить интервальные оценки параметров регрессии по каждой из выборок и в случае пересечения соответствующих доверительных интервалов сделать вывод о единой модели регрессии. Возможны и другие подходы. [c.122]

К модели (5.13) уже можно применять обычные методы исследования линейной регрессии, изложенные в гл. 4. Однако следует подчеркнуть, что критерии значимости и интервальные оценки параметров, применяемые для нормальной линейной регрессии, требуют, чтобы нормальный закон распределения в моделях (5.11), (5.12) имел логарифм вектора возмущений (т. е. In e Nn (О, , adx — приращение фактора х, т. е. [c.41]

Оценку коэффициента регрессии можно получить проще, не обращаясь к методу наименьших квадратов. Альтернативную оценку параметра Ь можно найти исходя из содержания данного коэффициента изменение результата Ау = у — ух сопоставляют с изменением фактора Дх = х — хх. [c.45]

Решая эту систему уравнений, получим оценки параметров искомой функции а = 0,0007 b = 0,0278. Соответственно уравнение регрессии составит [c.78]

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ [c.105]

При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей s. В модели [c.155]

Статистические проверки параметров регрессии, показателей корреляции основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной составляющей б,. Они носят лишь предварительный характер. После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок б, (случайных остатков) тех свойств, которые предполагались. Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям. Они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции. [c.155]

Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок. [c.160]

Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т. е. 0,1178 и 0,1026 — оценки параметра Ь зависимости сбережений от дохода. [c.175]

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний — наличие большого количества переменных. Если, например, строить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, то такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии. [c.255]

Чтобы понять, каковы последствия автокорреляции в остатках для оценок параметров модели регрессии, найденных обычным МНК, построим формальную модель, описывающую авто- [c.278]

Читайте так же:  Тревожное расстройство лечение

Отметим, что при соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, за исключением моделей авторегрессии. Применение МНК к моделям авторегрессии ведет к получению смещенных, несостоятельных и неэффективных оценок. [c.280]

Рассмотрим основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место автокорреляция остатков. Для этого вновь обратимся к исходной модели (6.1). Для момента времени / — 1 эта модель примет вид [c.280]

Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Для его реализации необходимо выполнять следующие условия. [c.281]

Описанная процедура называется двухшаговым методом наименьших квадратов. По сути метод наименьших квадратов применяется здесь дважды сначала для получения набора регрессо-ров X, затем для получения оценок параметра р. [c.199]

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосылок МНК — предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК. При построении уравнения множественной регрессии по временным рядам данных, помимо двух вышеназванных проблем, возникает также проблема муль-тиколлинеарности факторов, входящих в уравнение регрессии, в случае если эти факторы содержат тенденцию. [c.265]

Уравнение регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

В сервисе для нахождения параметров регрессии используется МНК. Система нормальных уравнений для линейной регрессии:

. Также можно получить ответ, используя матричный метод. см. также Статистические функции в Excel

Уравнение парной регрессии относится к уравнению регрессии первого порядка. Если эконометрическая модель содержит только одну объясняющую переменную, то она имеет название парной регрессии. Уравнение регрессии второго порядка и уравнение регрессии третьего порядка относятся к нелинейным уравнениям регрессии.

ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Регрессией случайной величины Y на X называется условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что X = x :

Регрессия Y на X устанавливает зависимость среднего значения величины Y от величины X . Если X и Y независимы, то

Простейшим видом регрессии является линейная:

Определение оценок коэффициентов a0, a1осуществляется с помощью метода наименьших квадратов.

Пусть имеется выборка x1, y1), (x2, y2), . , (xn, yn)>, содержащая n пар значений случайных величин X и Y . Тогда оценки параметров

и вычисляются по следующим формулам:

(9.2)

(9.3)

Для визуальной проверки правильности вычисления величин

необходимо построить диаграмму рассеивания и график уравнения регрессии ( рис. 9.1).
Рис 9.1

Если оценки парамет­ров a0, a1рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех точек (xi,yi) от прямой

должна быть минимально возможной.

Если выборка дву­мер­ной случайной вели­чины за­да­на с помощью приведен­ной ниже корреляционной таблицы

X Y
y1 y2 ys
x1 n1,1 n1,2 n1,S
x2 n2,1 n2,2 . . . n2,S
. . .
xr nr,1 nr,2 nr,s

где ni,j— количество появлений в выборке пары (xi, yj), то величины

, вычисляются по формулам

(9.4)

(9.5)

где

(9.6)

Пример 9.1 Найти уравнение

прямой регрессии Y на X по данным корреляционной таблицы: Таблица 9.2
xi yj

Решение. Для расчета оценок коэффициентов a0, a1воспользуемся формулами (9.4-9.6).

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

Найти уравнение прямой регрессии

для следующих экспериментальных данных:
X
Y 0,1 8,1 14,9 23,9

Ответ:

X
Y 4,9 7,9 11,1 14,1

Ответ:

X 1,5 2,5
Y 2,1 2,2 2,7 2,8 2,85

Ответ:

Ответ:

ЛИТЕРАТУРА

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.– М.: Наука, 1983. – 416 с.

2. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш.школа, 1983. — 279 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высш.шк., 1977 .– 479 с.

4. Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.– Мн.: Выш.шк., 1984.–223 с.

5. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Ч.V.– Мн.: Выш.шк., 1988.-253 с.

6. Сборник задач по математике для втузов. ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика ( под редакцией А.В.Ефимова).–М.:Наука. 1990.-428 с.

7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А.А.Свешникова).-М.: Наука, 1965.-656 с.

8. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике ( под редакцией А.П.Рябушко ). – Мн.: Выш. шк., 1992. – 191 с.

9. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ В.С.Королюк и др.– М.: Наука, 1985. – 640 с.

Читайте так же:  Политика как призвание

10. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум по ЭВМ по математической статистике.– Мн.: изд-во «Университетское», 1987. – 304 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Таблица функции Лапласа

2. Таблица функции Стьюдента

[2]

k 0,90 0,95 0,98 0,99
6,31 12,71 31,8 63,7
2,92 4,30 6,96 9,92
2,35 3,18 4,54 5,84
2,13 2,77 3,75 4,60
2,02 2,57 3,36 4,03
1,943 2,45 3,14 4,71
1,895 2,36 3,00 3,50
1,860 2,31 2,90 3,36
1,833 2,26 2,82 3,25
1,812 2,23 2,76 3,17
1,782 2,18 2,68 3,06
1,761 2,14 2,62 2,98
1,746 2,12 2,58 2,92
1,734 2,10 2,55 2,88
1,725 2,09 2,53 2,84
1,717 2,07 2,51 2,82
1,711 2,06 2,49 2,80
1,697 2,04 2,46 2,75
1,684 2,02 2,42 2,70

3. Таблица функции «Хи-квадрат»

k 0,01 0,02 0,05 0,95 0,98 0,99
6,64 5,41 3,84 0,004 0,001 0,000
9,21 7,82 5,99 0,103 0,040 0,020
11,34 9,84 7,82 0,352 0,185 0,115
13,28 11,67 9,49 0,711 0,429 0,297
15,09 13,39 11,07 1,145 0,752 0,554
16,81 15,03 12,59 1,635 1,134 0,872
18,48 16,62 14,07 2,17 1,564 1,239
20,10 18,17 15,51 2,73 2,03 1,646
21,07 19,68 16,92 3,32 2,53 2,09
23,20 21,2 18,31 3,94 3,06 2,56
26,2 24,1 21,0 5,23 4,18 3,57
29,1 26,9 23,7 6,57 5,37 4,66
32,0 29,6 26,3 7,96 6,61 5,81
34,8 32,3 28,9 9,39 7,91 7,02
37,6 35,0 31,4 10,85 9,24 8,26
40,3 37,7 33,9 12,34 10,60 9,54
43,0 40,3 36,4 13,85 11,99 10,86
45,6 42,9 38,9 15,38 13,41 12,20
48,3 45,4 41,3 16,93 14,85 13,56
50,9 48,0 43,8 18,49 16,31 14,95

4. Таблица функции Колмогорова

0,50 0,0361 1,02 0,7500 1,54 0,9826
0,54 0,0675 1,06 0,7889 1,58 0,9864
0,58 0,1104 1,10 0,8223 1,62 0,9895
0,62 0,1632 1,14 0,8514 1,66 0,9918
0,66 0,2236 1,18 0,8765 1,70 0,9938
0,70 0,2888 1,22 0,8981 1,74 0,9953
0,74 0,3560 1,26 0,9164 1,78 0,9965
0,78 0,4230 1,30 0,9319 1,82 0,9973
0,82 0,4880 1,34 0,9449 1,86 0,9980
0,86 0,5497 1,38 0,9557 1,90 0,9985
0,90 0,6073 1,42 0,9646 1,94 0,9989
0,94 0,6601 1,46 0,9718 1,98 0,9992
0,98 0,7079 1,50 0,9778

Св. план 1993, поз. 41

Аксенчик Анатолий Владимирович,

Волковец Александр Иванович,

Волорова Наталья Алексеевна,

Епихин Андрей Валерьевич,

Лозицкий Вячеслав Петрович

к практическим занятиям по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов радиотехнических специальностей

Ответственный за выпуск В.А.Новиков

Подписано в печать Формат 60х84 1/16.

Объем 2,7 усл. печ. л. 2,0 уч.-изд. л. Тираж 300 экз.

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

­Отпечатано на ротапринте БГУИР 220600, Минск, П.Бровки, 6.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8628 —

| 7421 — или читать все.

185.189.13.12 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Источники


  1. Анатолий, Некрасов Проектируем счастливую семью. Семьеведение / Некрасов Анатолий. — М.: АСТ, 2012. — 512 c.

  2. Лидерс, А. Г. Психологическое обследование семьи. Учебное пособие-практикум / А.Г. Лидерс. — М.: НОУ ВПО Московский психолого-социальный университет, МОДЭК, 2015. — 552 c.

  3. Гангор, Марк Смех — лучший помошник в браке. Секреты жизни, любви и брака / Марк Гангор. — М.: София, 2014. — 288 c.
  4. Дэвид, Э. Шарфф Сексуальные отношения. Секс и семья с точки зрения теории объектных отношений / Дэвид Э. Шарфф. — М.: Когито-Центр, 1982. — 497 c.
  5. Элдер, А. Как играть и выигрывать на бирже. Психология. Технический анализ. Контроль над капиталом / А. Элдер. — М.: Альпина бизнес букс; Издание 4-е, 2016. — 471 c.
Оценка линейной регрессии
Оценка 5 проголосовавших: 1

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here