Построить проекцию точки

Самое важное по теме: "построить проекцию точки" с профессиональной точки зрения. Мы собрали, агрегировали и представили в доступном виде всю имеющуюся по теме информацию и предлагаем ее к прочтению.

Проецирование точки


Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.

В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а // – на профильной плоскости проекций.

Прямые Аа, Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа, проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой, Аa / и Аa // — соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.

Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

Из этого следует:

1. Точка в пространстве удалена:

от горизонтальной плоскости H на величину заданной координаты Z,

от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,

от профильной плоскости W на величину координаты .X.

2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):

горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,

горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,

фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси Z.

3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию .


Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения. Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.

На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).

Вернуться на главную страницу. или ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

185.189.13.12 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Урок черчения «Построение проекций точек на поверхности предмета»

Разделы: Технология

Цели:

  • Изучение правил построения проекций точек на поверхности предмета и чтения чертежей.
  • Развивать пространственное мышление, умение анализировать геометрическую форму предмета.
  • Воспитывать трудолюбие, умение сотрудничать при работе в группах, интерес к предмету.

I ЭТАП. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

1) Организационный момент (настроение). 1 мин.
2) Актуализация опорных знаний. 5 мин.

II ЭТАП. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

1) Беседа по новой теме. 10 мин.
2) Чтение чертежей (самопроверка). 5 мин.
3) Работа в группах (взаимоконтроль). 5 мин.

ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ ПАУЗА. РЕФЛЕКСИЯ (НАСТРОЕНИЕ)

III ЭТАП. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА.

1) Практическая работа (задание по выбору). 10 мин.

IV ЭТАП. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ.

1) Задание на дом (инструктаж). 3 мин.
2) Рефлексия (настроение). 3 мин.
3) “Ошибающийся учитель” – найти ошибки. 2 мин.

I ЭТАП. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

1) Учитель: Проверьте свое рабочее место, всё ли на месте? Все готовы к работе?

ВЗДОХНУЛИ ГЛУБОКО, НА ВЫДОХЕ ЗАДЕРЖАЛИ ДЫХАНИЕ, ВЫДОХНУЛИ.

Определите свое настроение на начало урока по схеме (такая схема лежит у каждого на столе)

Я ЖЕЛАЮ ВАМ УДАЧИ.

2) Учитель: Практическая работа по теме “Проекции вершин, ребер, граней” показала, что есть ребята, которые допускают ошибки при проецировании. Путаются, какая из двух совпадающих точек на чертеже является видимой вершиной, а какая невидимой; когда ребро параллельно плоскости, а когда перпендикулярно. То же самое с гранями.

Чтобы исключить повторение ошибок, по консультирующей карточке выполните необходимые задания и исправьте ошибки в практической работе (от руки). И работая, помните:

“ОШИБАТЬСЯ МОЖЕТ КАЖДЫЙ, ОСТАВАТЬСЯ ПРИ СВОЕЙ ОШИБКЕ – ТОЛЬКО БЕЗУМНЫЙ”.

А тот, кто хорошо усвоил тему, поработают в группах с творческими заданиями (см. Приложение 1).

II ЭТАП. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

1) Учитель: На производстве встречаются множество деталей, которые крепятся друг к другу определенным образом.
Например:
Крышка рабочего стола крепится к вертикальным стойкам. Обратите внимание на стол, за которым вы находитесь, как и чем крепятся между собой крышка и стойки?

Читайте так же:  Как привлечь к себе мужчину который нравится

Учитель: А что для болта необходимо?

Учитель: Действительно. А чтобы отверстие выполнить, надо знать его расположение на изделие. Изготавливая стол, столяр не может каждый раз обращаться к заказчику. Значит, чем необходимо обеспечить столяра?

Учитель: Чертеж!? А что мы с вами называем чертежом?

Ответ: Чертежом называется изображение предмета прямоугольными проекциями в проекционной связи. По чертежу можно представить геометрическую форму и конструкцию изделия.

Учитель: Мы с вами выполнили прямоугольные проекции, а дальше? Сможем ли мы по одним проекциям определить расположение отверстий? Что нам необходимо еще знать? Чему научиться?

Ответ: Строить точки. Находить проекции этих точек на всех видах.

Учитель: Молодцы! Это и есть цель нашего урока, и тема: Построение проекций точек на поверхности предмета. Запишите тему урока в тетрадь.
Мы с вами знаем, что любая точка или отрезок на изображении предмета являются проекцией вершины, ребра, грани, т.е. каждый вид – это изображение не с одной стороны (гл. вид, вид сверху, вид слева), а всего предмета.
Для того, чтобы правильно находить проекции отдельных точек, лежащих на гранях, нужно прежде всего найти проекции этой грани, а затем при помощи линий связи отыскать проекции точек.

(Смотрим чертеж на доске, работаем в тетради, где выполнены дома 3 проекции такой же детали).

– Открыли тетрадь с выполненным чертежом (Объяснение построения точек на поверхности предмета с наводящими вопросами на доске, а учащиеся закрепляют в тетради.)

Учитель: Рассмотрим точку В. Какой плоскости параллельна грань с этой точкой?

Ответ: Грань параллельна фронтальной плоскости.

Учитель: Задаемся проекцией точки b’ на фронтальной проекции. Проводим вниз от точки b’ вертикальную линию связи до горизонтали проекции. Где будет находиться горизонтальная проекция точки В?

Ответ: На пересечении с горизонтальной проекцией грани, которая спроецировалась в ребро. И находится внизу проекции (вида).

Учитель: Профильная проекция точки b’’, где будет находиться ? Как мы ее найдем?

Ответ: На пересечении горизонтальной линии связи из b’ с вертикальным ребром справа. Это ребро и есть проекция грани с точкой В.

К ДОСКЕ ВЫЗЫВАЮТСЯ ЖЕЛАЮЩИЕ ПОСТРОИТЬ СЛЕДУЮЩУЮ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ.

Учитель: Проекции точки А так же находятся с помощью линий связи. Какой плоскости параллельна грань с точкой А?

Ответ: Грань параллельна профильной плоскости. Задаемся на профильной проекции точкой а’’.

Учитель: На какой проекции грань спроецировалась в ребро?

Ответ: На фронтальной и горизонтальной. Проведем горизонтальную линию связи до пересечения с вертикальным ребром слева на фронтальной проекции, получим точку а’.

Учитель: А как найти проекцию точки А на горизонтальной проекции? Ведь линии связи из проекции точек а’ и а’’ не пересекают проекцию грани (ребро) на горизонтальной проекции слева. Что нам может помочь?

Ответ: Можно воспользоваться постоянной прямой (она определяет место вида слева) из а’’ проводят вертикальную линию связи до пересечения с постоянной прямой. Из точки пересечения проводят горизонтальную линию связи, до пересечения с вертикальным ребром слева. (Это и есть грань с точкой А) и обозначает проекцию точкой а.

2) Учитель: У каждого на столе лежит карточка-задание, с прикреплённой калькой. Рассмотрите чертёж, теперь попробуйте самостоятельно, без перечерчивания проекций, найти на чертеже заданные проекции точек.

– Найдите в учебнике стр. 76 рис. 93. Проверьте себя. Кто выполнил правильно – оценка ‘5»; одна ошибка – ‘’4’’; две – ‘’3’’.

(Оценки выставляют сами учащиеся в листе самоконтроля).

– Собрать карточки для проверки.

3) Работа в группах: Время ограничено: 4мин. + 2 мин. проверки. (Две парты с учащимися объединяются, и внутри группы выбирается руководитель).

На каждую группу раздаются задания в 3-х уровнях. Учащиеся выбирают задания по уровням, (по своему желанию). Решают задачи на построение точек. Обсуждают построение под контролем руководителя. Затем на доске с помощью кодоскопа высвечивается правильный ответ. Все проверяют правильность выполнения проецирования точек. При помощи руководителя группы выставляют оценки на заданиях и в листах самоконтроля (см. Приложение 2 и Приложение 3).

ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ ПАУЗА. РЕФЛЕКСИЯ

“Поза фараона” – сесть на край стула, выпрямить спину, руки согнуть в локтях, ноги скрестить и поставить на носочки. Вздохнуть, напрячь все мышцы тела на задержке дыхания, выдохнуть. Сделать 2-3 раза. Глаза сильно зажать, до звездочек, открыть. Отметить свое настроение.

III ЭТАП. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. (Индивидуальные задания)

Предлагаются карточки-задания на выбор с разным уровнем. Учащиеся самостоятельно выбирают по своим силам вариант. Найти проекции точек на поверхности предмета. Работы сдаются и оцениваются к следующему уроку. (См. Приложение 4, Приложение 5, Приложение 6).

IV ЭТАП. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ

1) Задание на дом. (Инструктаж). Выполняется по уровням:

В – понимание, на «3». Упр.1 рис. 94а стр. 77 – по заданию в учебнике: достроить недостающие проекции точек на данных проекциях.

Б – применение, на «4». Упр.1 рис.94 а, б. достроить не достающие проекции и обозначить вершины на наглядном изображении в 94а и 94б.

Читайте так же:  Стадии отношений между мужчиной и женщиной психология

А – анализ, на «5». (Повышенной сложности.) Упр. 4 рис.97 – построить не достающие проекции точек и обозначить их буквами. Наглядного изображения нет.

2) Рефлексивный анализ.

  1. Определите настроение в конце урока, отметьте в листе самоконтроля любым знаком.
  2. Что нового узнали сегодня на уроке?
  3. Какая форма работы наиболее эффективна для вас: групповая, индивидуальная и вы хотели бы, чтобы она повторялась на следующем уроке?
  4. Собрать листки самоконтроля.

3) “Ошибающийся учитель”

Учитель: Вы научились строить проекции вершин, ребер, граней и точки на поверхности предмета, соблюдая все правила построения. Но вот вам передали чертеж, где есть ошибки. Попробуйте теперь себя в роли учителя. Найдите сами ошибки, если найдете все 8–6 ошибок, то оценка соответственно “5”; 5–4 ошибки –“4”, 3 ошибки – “3”.

Построение проекций точки по координатам;

При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться инвариантным свойством ортогонального проецирования 1): проекция точки – это всегда точка.

Простейшим способом определения местоположения точки в трехмерном, пространстве при использовании в качестве системы отсчета декартовой системы координат является вычисление трех ее координат.

Рассмотрим пример. Пусть требуется построить чертеж точки А, расположение которой определяется ее координатами: xА = 70, yА = 30, zА = 45. На чертеже координаты точки обычно задаются в тех единицах измерения, которые выбраны для создания всего изображения. Чаще всего это миллиметры (мм).

Более сокращенная запись выглядит следующим образом: А (70; 20; 45).

Построим точку А на двухкартинном комплексном чертеже (Рис. 9 а). Точка определена на комплексном чертеже тогда и только тогда, когда заданы две ее проекции ‑ горизонтальная и фронтальная. Следовательно, необходимо построить горизонтальную проекцию А1 и фронтальную проекцию А2.

а б
Рисунок 9

Горизонтальная плоскость проекций П1 определяется осями x1 и y1, а фронтальная П2x2 и z2. Следовательно, А1 определяется координатами xА = 70 и yА = 30, а А2 ‑ координатами xА = 70 и zА = 45. Заданные координаты откладываются на соответствующих заранее проградуированных в заданном масштабе осях проекций комплексного чертежа. Искомая проекция точки находится в пересечении прямых, проведенных параллельно осям проекций.

Если требуется построить трехкартинный комплексный чертеж, то, продолжая тот же метод для построения проекции А3, нужно отложить координаты yА = 30 и zА = 45 на осях у3 и z32, определяющих профильную плоскость проекций П3.

Однако можно использовать графический метод и без откладывания координат (Рис. 9 б). Для этого необходимо провести горизонтальную линию связи от точки А2 и ломаную линию связи от точки А1, причем ломаться линия должна на постоянной прямой комплексного чертежак13. В месте пересечения линий связи будет А3.

Проекции. Эпюр точки

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

V – верхняя полуплоскость фронтальной плоскости проекции;

H – передняя полуплоскость горизонтальной плоскости проекции;

W – передняя полуплоскость профильной плоскости проекции;

VHХ – ось абсцисс, НWY – ось ординат, VWZ – ось аппликат.

Точка О – начало координат.


Точка А – объект проецирования. Для построения проекции точки А на плоскость Н проведем через точку проецирующий луч Аа, перпендикулярный этой плоскости. Точка а пересечения этого луча с плоскостью Н будет искомой горизонтальной проекцией точки А, а′ – фронтальная проекция точки А, а″ – профильная проекция точки А (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Наглядное изображение точки в I октанте (четверти) и эпюр точки

Комплексный чертеж (эпюр) точки, расположенной в I октанте (четверти), получим, если совместим плоскости Н и W c плоскостью V, вращая плоскость Н вокруг оси Х, а плоскость W вокруг оси Z (рисунок 1.1). Линии а′а, а′а″ называются линиями связи.

Координата Х – абсцисса – показывает удаление точки А от плоскости W;

координата Y – ордината – показывает удаление точки А от плоскости V;

координата Z – аппликата – показывает удаление точки А от плоскости Н;

Из вышесказанного следует, что любые две проекции однозначно определяют положение точки в пространстве.

Три правила проецирования

1) Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда лежат на одной линии связи а′а ^ оси Х.

2) Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной линии связи аа″ ^ оси Z.

3) Профильная проекция точки находится справа от оси Z, если координата Y положительная, и слева от оси Z, если координата Y отрицательная.

Три взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 8 частей (октантов). Точки могут располагаться во всех восьми октантах. Наблюдатель находится в I октанте (рисунки 1.2, 1.3).

Октант Знаки координат
Х Y Z
I + + +
II + +
III +
IV + +
V + +
VI +
VII
VIII +
Рисунок 1.2 – Наглядное изображение октантов пространства Рисунок 1.3 – Знаки координат в октантах пространства

Задачи по теме 1 – Проецирование точки

1.1. Построить эпюр и наглядное изображение точек А (25, 20, 5), В (15, 0, 25), С (0, 25, 10).

Примечание: при построении наглядного изображения точек координату Y следует уменьшить вдвое.

[3]

1.2 Достроить наглядное изображение и построить эпюр точек А, В, и С. Записать их координаты.

Читайте так же:  Проекция перемещения равна

1.3 Построить наглядное изображение, горизонтальные и фронтальные проекяии точек А(5; –20; 10), В(10; –10; –20), С(20; 0; –30), D(30; 30; –40), Е(40; 0; 0).

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.001 с) .

Построение проекций точек, принадлежащих шару и тору

Пусть требуется построить три проекции точки А, принадлежащей поверхности шара (рис. 166).

Шар проецируется на плоскости проекций в виде трех кругов равной величины. Экватор шара проецируется без искажения на горизонтальную плоскость проекций П1; меридианы шара проецируются без искажения на фронтальную и профильную плоскости проекций П2 и П3. Верхняя часть шара, включая экватор, при проецировании на фронтальную плоскость проекций П1 видима. Передняя часть шара, включая фронтальный меридиан, видима при проецировании на фронтальную плоскость проекций П2. Левая часть шара, включая профильный меридиан, видима при проецировании на профильную плоскость проекций П3.

Фронтальная проекция А2 задана светлым кружком, т. е. точка принадлежит передней части поверхности шара. Шар является поверхностью вращения, поэтому для построения недостающих проекций мы можем использовать известный уже способ параллели. Через точку А2 проведем прямую, которая будет являться фронтальной проекцией окружности. Найдем горизонтальную проекцию окружности и на ней горизонтальную проекцию А1 точки А. Для нахождения третьей проекции А3 воспользуемся ординатой у. При всех трех направлениях проецирования точка А видима для наблюдателя. Недостающие проекции можно было находить также с помощью фронтальной окружности.

В прямоугольной изометрии при построении без сокращения по осям шар изображается окружностью, диаметр которой равен 1,22 d (рис. 167, а). Изометрическую проекцию А’ точки А строим с помощью координатной ломаной; для наглядности проводим через точку изометрическую окружность (эллипс). В прямоугольной диметрии при тех же условиях диаметр окружности, являющейся проекцией шара, равняется 1,06 диаметра шара. В практике шар и детали шаровой формы нередко изображают с применением условного выреза одной восьмой или одной четвертой части. При этом строим три взаимно перпендикулярных эллипса и проводим окружность, касающуюся эллипсов в шести точках (рис. 167, б). Для изометрии радиус окружности будет равен половине большой оси эллипса, т. е. 1,22d/2 = 0,61d, где d — диаметр заданного шара. Плоскость выреза заштриховываем линиями, параллельными диагоналям квадратов воображаемого куба. Для этого в прямоугольной изометрии откладываем по осям х’, у’ и z’ равные отрезки и соединяем их концы прямыми линиями. Определение угла наклона штриховки в прямоугольной с углами 7°10′ и 41° 25′ и косоугольной (фронтальной) диметрии отличается от описанного тем, что по оси у’ откладывается половина величины выбранного отрезка.

Тор (круговое кольцо) образуется при вращении окружности вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не пересекающей ее. Иначе тор может быть образован вращением шара вокруг оси, не пересекающей его (рис. 168, а); при этом шар диаметра d скользит своим центром по направляющей окружности l. На фронтальной и профильной проекциях часть линий тора должна быть вычерчена штриховыми линиями как невидимая для наблюдателя. Если требуется построить три проекции точки В, принадлежащей поверхности тора и заданной, например, своей горизонтальной проекцией B1, то опять пользуемся параллелью, часть которой проведена на чертеже; фронтальную проекцию параллели (окружности) находим с помощью точек С1 и С2. Фронтальную проекцию В2 находим с помощью вертикальной линии связи, а профильную — с помощью ординаты у.

При построении тора в прямоугольных аксонометрических проекциях воспользуемся направляющей окружностью l и центром О. Построив направляющую окружность, например, в изометрической проекции (рис. 168, б), проводим циркулем значительное количество окружностей, соответствующих изометрическим проекциям шара, скользящего по направляющей (диаметр этих окружностей для «приведенной» прямоугольной изометрии равен 1,22d, для прямоугольной диметрии — 1,06d). Проводим огибающие кривые, касательные к окружностям; наружная кривая при этом всегда по своей форме похожа на эллипс, внутренняя кривая нередко пересекается своими ветвями и образует четыре точки возврата. Внизу в увеличенном виде начерчена внутренняя кривая с точками возврата А’, В’, С и D’. При ином соотношении радиусов направляющей окружности и образующего шара форма внутренней кривой может оказаться похожей на эллипс или приобрести форму кривой E’F’G’H’, показанной на чертеже.

[1]

Если ось вращения пересекает образующий шар, то вместо кругового кольца образуется другой вид тора — круговой вал (без отверстия в середине), форма которого напоминает форму яблока.

Построить горизонтальную проекцию точки А, которая принадлежит плоскости, заданной прямой BC и точкой В.

а) Определяем плоскость ВСD

б) Через т. А2 II оси х12 проводим горизонталь h2

в) h2 ∩ ВСD=12 22,находим их проекции на соответствующих сторонах плоскости ABCDи проводим горизонталь h1

[2]

г) т.к. горизонталь пропущена через т. А2, то проекция А1 будет лежать на горизонтали h1 и проекционном луче из т. А2.

Достроить горизонтальную проекцию четырехугольника ABCD.

Читайте так же:  Установление времени общения с ребенком

а) Для определения местоположения т. О следует в π2 провести диагонали четырехугольника АВСD

в) Через В1 и проводим прямую, засекающую т. D1 на проекционном луче из т. D2

Определить линию пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми с и d и а и b

а) Через две плоскости пропускаем секущие плоскости γ1; γ2

д) Находим проекции точек в π2

е) N D- линия пересечения плоскостей

Построить линию пересечения цилиндра и шара.

а) Цилиндр и сфера в π1 пересекаются в т. 1121; находим их проекции 1222

в π2 на горизонтальной оси сферы

б) В π2 проводим секущие плоскости II оси х12; данные плоскости пересекают цилиндр и сферу; отмечаем радиусы пересечения и проецируем их на плоскость π1 на горизонтальную ось цилиндра и сферы; проводим окружности; пересечение окружностей, образованных сечением одной плоскости, дают точки пересечения сферы и конуса.

в) Соединяем получившиеся точки в π1 и проецируем их на соответствующие секущие плоскости в π2, соединяем линию пересечения

г) Определяем видимость

Построить точку пересечения прямой L с плоскостью ABC, определить видимость.

а) Заключаем прямую L в плоскость α1

б) Она засекает т. 1 и 2 в π1, находим проекции точек в плоскости π2

г) Находим проекцию К1 в π1

д) Определяем видимость

Построить три проекции прямой А (50; 15;50), В (20;30;0), найти его натуральную величину

а) Согласно заданным координатам откладываем проекции точек в соответствии с установленными направлениями осей;

б) Находим третью проекцию прямой:

— откладываем значение y по горизонтали с правой стороны от оси z и находим проекции точек согласно фронтальным проекциям точек

в) Находим Н.В.- проводим в π2 из т. В2 горизонталь h2;

— полученное расстояние от т. А2 до h2 откладываем на перпендикуляре от т. А1 в π1;

66. Достроить горизонтальную проекцию многоугольника ABCDK и определить угол наклона плоскости к απ1.

а) Рассмотрим π2,проецируем точки плоскоасти АВС DK на проекцию απ2 II оси х12 получаем точки А`2, В`2, С`2 , D`2 , K`2 и проецируем их на ось х12

Экзаменационные задания и примеры решения типовых задач Построение проекций точки

Для изображения точки, находящейся в пространстве, необходимо взять три взаимно перпендикулярные плоскости: горизонтальную (H), фронтальную (V) и профильную (W). На ортогональном чертеже они изображаются осями проекций ОХ, ОУ, ОZ. Точку на чертеже можно построить по трем координатам Х (абсцисса), У (ордината), Z (аппликата).

Например, построим точку А с координатами Х = 60 мм, У = 40 мм, Z = 70 мм (рис. 91). Задание записывается следующим образом: А (60, 40, 70). Координаты точки всегда задаются в одинаковой последовательности: Х, У, Z. Размеры даются в миллиметрах.

Рис. 91. Построение точки А по координатам на ортогональном чертеже

Существует восемь четвертей пространства, которые называются октантами. Задачи в начертательной геометрии обычно задаются в первом октанте, где значения координат Х, У, Z положительные. Но существуют октанты, где значения координат отрицательные. На рисунке 92 показаны, по каким осям откладываются отрицательные и положительные значения координат точки.

Рис. 92. Изображение осей с отрицательными и положительными значениями координат

Построить три проекции точки с координатами В (-65, 30, -50). Определить, в каком октанте она находится.

Решение. Координата Х – отрицательная, значит, 65 мм отложим по оси Х справа от начала координат (О) (рис. 93). Проведем вертикальную проекционную связь. Так как знак координаты У положительный, отложим 30 мм от оси Х вниз по построенной проекционной связи, получим горизонтальную проекцию точки (В1). Значение координаты Z отрицательное, следовательно, отложим 50 мм вниз от оси Х по той же проекционной связи, получим фронтальную проекцию точки (В2).

Рис. 93. Построение трех проекций точки В

Чтобы построить профильную проекцию точки, нужно взять значение координаты У и отложить его на горизонтальной проекционной связи, проведенной из фронтальной проекции В2. Придерживаемся следующего правила: если значение У отрицательное, то его откладывают слева от оси координат; если значение У положительное, то его откладывают справа от оси координат.

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно Aх, Aу. Координата х для т. A равна длине отрезка AхO со знаком плюс, так как Aх лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка AуO со знаком минус, так как т. Aу лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем Az. Координата z точки A равна длине отрезка AzO со знаком минус, так как Az лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Читайте так же:  Общение через ребенка

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то Bx = B’ и координата Bу = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка BхO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем Bz. Аппликата z точки B равна длине отрезка BzO со знаком минус, так как Bz лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П3 имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса AуO. После этого проведем перпендикуляр из Aу до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.

Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П1, П2 и П3, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П2.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты Знаки координат
x y z
1 + + +
2 + +
3 +
4 + +
5 + +
6 +
7
8 +

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П2. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.

Источники


  1. Макеев, В. А. Психология делового общения / В.А. Макеев. — М.: Либроком, 2016. — 272 c.

  2. Организация и методика налогового консультирования: Учебно-методическое пособие / ред. Т.А. Демишева. — М.: Учебный центр МФЦ, 2011. — 160 c.

  3. Посысоев, Н.Н. Основы психологии семьи и семейного консультирования / Н.Н. Посысоев. — М.: Книга по Требованию, 2011. — 328 c.
  4. Протоиерей, Александр Ильяшенко Кризис в семье. Что угрожает семейному счастью / Протоиерей Александр Ильяшенко. — М.: Издательство Московской Патриархии, 2011. — 144 c.
  5. Кузина, С.В. Большая книга вранья / С.В. Кузина. — М.: Астрель, 2012. — 146 c.
Построить проекцию точки
Оценка 5 проголосовавших: 1

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here