Выполнить аксонометрическую проекцию

Самое важное по теме: "выполнить аксонометрическую проекцию" с профессиональной точки зрения. Мы собрали, агрегировали и представили в доступном виде всю имеющуюся по теме информацию и предлагаем ее к прочтению.

Выполнить аксонометрическую проекцию

§ 14. Построение аксонометрических проекций окружности

Рассмотрите рис. 92. На нем дана фронтальная диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями.


Рис. 92. Фронтальные диметрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и z, изображаются эллипсами. Передняя грань куба, перпендикулярная к оси у, проецируется без искажения, и окружность, расположенная на ней, изображается без искажения, т. е. описывается циркулем. Поэтому фронтальная диметрическая проекция удобна для изображения предметов с криволинейными очертаниями, подооных представленными на рис. 93.


Рис. 93. Фронтальные диметрические проекции деталей

Построение фронтальной диметрической проекции плоской детали с цилиндрическим отверстием. Фронтальную диметрическую проекцию плоской детали с цилиндрическим отверстием выполняют следующим образом.

1. Строят очертания передней грани детали, пользуясь циркулем (рис. 94, а).

2. Через центры окружности и дуг параллельно оси у проводят прямые, на которых откладывают половину толщины детали. Получают центры окружности и дуг, расположенных на задней поверхности детали (рис. 94, б). Из этих центров проводят окружность и дуги, радиусы которых должны быть равны радиусам окружности и дуг передней грани.


Рис. 94. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическими элементами

3. Проводят касательные к дугам. Удаляют лишние линии и обводят видимый контур (рис. 94, в).

Изометрические проекции окружностей. Квадрат в изометрической проекции проецируется в ромб. Окружности, вписанные в квадраты, например, расположенные на гранях куба (рис. 95), в изометрической проекции изображаются эллипсами. На практике эллипсы заменяют овалами, которые вычерчивают четырьмя дугами окружностей.


Рис. 95. Изометрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Построение овала, вписанного в ромб.

1. Строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 96, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у и на них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки a, w, с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

2. Вписывают в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов (точек А и В) описывают дуги радиусом R, равным расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В) до точек a, b или с, d соответственно. Через точки В и а, В и b проводят прямые (рис. 96, б); пересечение этих прямых с большей диагональю ромба дает точки С и D, которые будут центрами малых дуг; радиус R1 малых дуг равен Са (Db). Дугами этого радиуса сопрягают большие дуги овала. Так строят овал, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси z (овал 1 на рис. 95). Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных к осям х (овал 3) и у (овал 2), строят так же, как овал 1., только построение овала 3 ведут на осях у и z (рис. 97, а), а овала 2 (см. рис. 95) — на осях х и z (рис. 97, б).


Рис. 96. Построение овала в плоскости, перпендикулярной оси z


Рис. 97. Построение овала в плоскостях, перпендикулярных осям х и у

Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием.

Как применить рассмотренные построения на практике?

Дана изометрическая проекция детали (рис. 98, а). Нужно изобразить сквозное цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани.

Построения выполняет следующим образом.

1. Находят положение центра отверстия на передней грани детали. Через найденный центр проводят изометрические оси. (Для определения их направления удобно воспользоваться изображением куба на рис. 95.) На осях от центра откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 98, а).

2. Строят ромб, сторона которого равна диаметру изображаемой окружности; проводят большую диагональ ромба (рис. 98, б).

3. Описывают большие дуги овала; находят центры для малых дуг (рис. 98, в).

4. Проводят малые дуги (рис. 98, г).

5. Строят такой же овал на задней грани детали и проводят касательные к обоим овалам (рис. 98, д).


Рис. 98. Построение изометрической проекции летали с цилиндрическим отверстием
Ответьте на вопросы

1. Какими фигурами изображаются во фронтальной диме-трической проекции окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и у?

2. Искажается ли во фронтальной диметрической проекции окружность, если ее плоскость перпендикулярна оси у?

3. При изображении каких деталей удобно применять фронтальную диметрическую проекцию ?

4. Какими фигурами изображаются в изометрической проекции окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х, у, z?

5. Какими фигурами в практике заменяют эллипсы, изображающие окружности в изометрической проекции?

6. Из каких элементов состоит овал?

7. Чему равны диаметры окружностей, изображенных овалами, вписанными в ромбы на рис. 95, если стороны этих ромбов равны 40 мм?

Задания к § 13 и 14

Упражнение 42

На рис. 99 проведены оси для построения трех ромбов, изображающих квадраты в изометрической проекции. Рассмотрите рис. 95 и запишите, на какой грани куба — верхней, правой боковой или левой боковой будет расположен каждый ромб, построенный на осях, данных на рис. 99. Какой оси (х, у или z) будет перпендикулярна плоскость каждого ромба?


Рис. 99. Задание для упражнений
Упражнение 43

Запишите, какой оси (х, у или z) перпендикулярны плоскости овала на рис. 100. В какой аксонометрической проекции даны здесь окружности?


Рис. 100. Задание для упражнений
Упражнение 44

В каких аксонометрических проекциях даны окружности на рис. 101? Какой оси перпендикулярна плоскость каждой из них?


Рис. 101. Задание для упражнений
Упражнение 45

Запишите, в каких аксонометрических проекциях даны геометрические тела на рис. 102.

Каким осям (х, у или z) параллельна высота каждого из них?

Читайте так же:  Что лучше при панических атаках


Рис. 102. Геометрические тела для задания для упраждений
Упражнение 46

Постройте изометрическую проекцию куба, сторона которого равна 70 мм. Впишите в три грани куба овалы — изометрические проекции окружностей (см. рис. 95).

Аксонометрические проекции. Изометрическая проекция

Для тoгo чтобы получить аксонометрическую проекцию пред­мета (рис. 106), необходимо мысленно: поместить предмет в сис­тему координат; выбрать аксонометрическую плоскость проекций и расположить предмет перед ней; выбрать направление парал­лельных проецирующих лучей, которое не должно совпадать ни с одной из аксонометрических осей; направить проецирующие лучи через все точки предмета и координатные оси до пересечения с аксонометрической плоскостью проекций, получив тем самым изображение проецируемого предмета и координатных осей.

На аксонометрической плоскости проекций получают изобра­жение — аксонометрическую проекцию предмета, а также про­екции осей систем координат, которые называют аксонометриче­скими осями.

Аксонометрической проекцией называется изображение, по­лученное на аксонометрической плоскости в результате парал­лельного проецирования предмета вместе с системой координат, которое наглядно отображает его форму.

Система координат состоит из трех взаимно пересекающихся плоскостей, которые имеют фиксированную точку — начало координат (точку О) и три оси (X, У, Z), исходящие из нее и расположенные под прямым углом друг к другу. Сис­тема координат позволяет производить измерения по осям, определяя положение предметов в пространстве.

Рис. 106. Получение аксонометрической (прямоугольной изометрической) проекции

Можно получить множество аксонометрических проекций, по- разному располагая предмет перед плоскостью и выбирая при этом различное направление проецирующих лучей (рис. 107).

Наиболее употребляемой является так называемая прямо­угольная изометрическая проекция (в дальнейшем будем использовать ее сокращенное название — изометрическая проек­ция). Изометрической проекцией (см. рис. 107, а) называется та­кая проекция, у которой коэффициенты искажения по всем трем осям равны, а углы между аксонометрическими осями составляют 120°. Изометрическая проекция получается с помощью па­раллельного проецирования.

Рис. 107. Аксонометрические проекции, установленные ГОСТ 2.317—69:
а — прямоугольная изометрическая проекция; б — прямоугольная диметрическая проекция;
в — косоугольная фронтальная изометриче­ская проекция;
г — косоугольная фронтальная диметрическая проекция

Рис. 107. Продолжение: д — косоугольная горизонтальная изометриче­ская проекция

При этом проецирующие лучи пер­пендикулярны аксонометрической плоскости проекций, а коор­динатные оси одинаково наклонены к аксонометрической плоско­сти проекций (cм. рис. 106). Если сравнить линейные размеры предмета и соответствующие им размеры аксонометрического изображения, то можно увидеть, что на изображении эти размеры меньше, чем действительные. Величины, показывающие отноше­ние размеров проекций отрезков прямых к действительным их размерам, называют коэффициентами искажения. Коэффициен­ты искажения (К) по осям изометрической проекции одинаковы и равны 0,82, однако для удобства построения используют так называемые практические коэффициенты искажения, которые равны единице (рис. 108).

Рис. 108. Положение осей и коэффициенты искажения изометрической проекции

Существуют изометрические, диметрические и триметрические проекции. К изометрическим проекциям относятся такие проекции, которые имеют одинаковые коэффициенты искажения по всем трем осям. Диметрическими проекциями называются такие проекции, у которых два коэффициента искажения по осям одинаковые, а величина третьего отличается от них. К триметрическим проекциям относятся проекции, у которых все коэффици­енты искажения различны.

Разрезы (вырезы) на аксонометрических изображениях деталей

На аксонометрическом изображении так же, как и на изо­бражениях чертежа, применяют разрезы, с помощью которых показывают внутреннее устройство формы: плоскости, отверстия, углубления и т. п.

Секущие плоскости, как правило, выбирают так, чтобы они совпадали с плоскостью симметрии детали (рис. 168, а) или от­дельного ее элемента (рис. 168, б).

На рисунке 168 показаны разрезы на аксонометрических про­екциях, полученные с помощью фронтальной и профильной се­кущих плоскостей (рис. 168, а), фронтальной и горизонтальной плоскостей (рис. 168, б).

Если секущая плоскость проходит вдоль тонкой стенки (ребра жесткости) детали, то на аксонометрическом изображении ее се­чение заштриховывают (рис. 168).

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны ‘которых параллельны аксонометрическим осям (рис. 169).

Существует несколько способов построения разрезов в аксо­нометрических проекциях.

Первый из способов построения разрезов в аксонометрии за­ключается в том, что вначале по чертежу выполняют аксономет­рическую проекцию детали (рис. 175, а). Затем наносят контуры сечений, образуемые каждой секущей плоскостью. После этого изображение передней части детали, находящейся между секущими плоскостями, удаляют и обводят оставшуюся часть изображения. Наносят штриховку.

Рис. 168. Чертеж детали и ее аксономерическое изображение с вырезом (Секущая плоскость может совпадать с плоскостью симметрии всей детали (а) или ее элемента (б).)

Рис. 169. Нанесение штриховки в изометрической проекции

Рис. 170. Построение разреза в аксонометрии

Второй способ построения разрезов в аксонометрии заключа­ется в том, что сначала строят аксонометрическую проекцию фигуры сечений по размерам, взятым с чертежа, затем достраива­ют аксонометрическое изображение (оставшуюся часть детали) (рис. 170, б).

Машиностроительное черчение Практические занятия

ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ. АКСОНОМЕТРИЯ

Упражнение 3. Для построения наглядных изображений применяют аксонометрическое проецирование, состоящее в том, что данный предмет вместе с системой трех взаимно перпендикулярных осей координат, к которым он отнесен в пространстве, параллельно проецируют на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью). Проекция на этой плоскости называется аксонометрической или сокращенно аксонометрией. Проекции осей координат, к которым отнесен предмет в пространстве, выполняют роль аксонометрических осей. Так как оси координат наклонены к плоскости аксонометрических проекций, они проецируются на нее с искажением

Рис 9. Оси изометрической и диметрической проекций

В курсе инженерная графика студенты выполняют изометрические и диметрические аксонометрические проекции. Для изометрической проекции углы между аксонометрическими осями равны 120° (рис. 9, а), а для диметрической (рис. 9, в) ось х составляет с горизонтальной линией угол, равный 7°10′, а ось у – угол 41°25′. На практике построение аксонометрических осей для диметрических проекций производят следующим образом. Ось х проводят с уклоном 1: 8 к горизонтальной прямой, а осью у служит биссектриса угла между осями х и z.

Читайте так же:  Приступ похожий на эпилептический

На всех осях изометрической проекции коэффициент искажения равен 0,82. Для диметрической проекции по осям х и z искажение равно 0,94, а по оси у – 0,47. Для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по всем осям, как бы приняв коэффициент искажения за 1,

что соответствует увеличению изображения по сравнению с действительным в 1,22 раза. Диметрическую проекцию выполняют без искажения по осям х и z и с коэффициентом искажения по оси у, равным 0,5. В этом случае диметрическое изображение увеличено по сравнению с действительным в 1,06 раза.

Окружность на аксонометрических проекциях проецируется в эллипс. Эти эллипсы можно строить по его осям. В каждой координатной плоскости большая ось эллипса AB, в который проецируется окружность, расположена перпендикулярно свободной оси. Для изометрических проекций (рис. 10, а) во всех координатных плоскостях большая ось эллипса АВ равна 1,22 диаметра окружности, а малая CD – 0,71 диаметра окружности (если изометрическая проекция строится без искажения по осям). Для диметрических проекций (рис. 10, б) в координатных плоскостях х0у и z0у большая ось эллипса AB равна 1,06 диаметра окружности, а малая CD – 0,35 диаметра окружности. В координатной плоскости х0z большая ось эллипса AB равна 1,06 диаметра окружности, а малая CD – 0,94 диаметра окружности.

Все это при условии, что диметрическая проекция строится без искажения по осям х и z, и с искажением 0,5 по оси у.

Рис. 10 а) Изображение окружности в изометрии

Рис.10 б). Изображение окружности в диметрии

Построение эллипса в аксонометрических проекциях можно заменить построением четырехцентрового овала. Покажем построение эллипса в изометрической (рис.11, а) и диметрической (рис. 11, б) аксонометрических проекциях. Эллипсы можно построить по заданным аксонометрическим осям, например x и y, и диаметру окружности d без дополнительных расчетов, или по восьми точкам, предварительно рассчитав отрезки AB и CD. Обычно аксонометрическую проекцию предмета строят по ортогональному чертежу, причем построение получается более простым, если положение детали относительно аксонометрических осей x, y, z остается таким же, как и на ортогональном чертеже. На свободном поле чертежа намечают направления аксонометрических осей, предмет разбивают на простейшие геометрические тела: призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, сферы и строят их изображения в аксонометрических проекциях.

Рис.11 а) Вычерчивание окружности в изометрии

Рис. 11б). Вычерчивание окружности в диметрии

На аксонометрических проекциях, как правило, не показывают невидимый контур штриховыми линиями. Для выявления внутреннего контура детали, так же как и на ортогональном чертеже, в аксонометрии выполняют разрезы, но эти разрезы могут не повторять контуры ортогонального чертежа. На аксонометрических проекциях, как правило, не применяют полные разрезы, так как такие разрезы уменьшают наглядность изображения.

При выполнении разрезов секущие плоскости направляют только параллельно координатным плоскостям x0z, y0z или y0z. Чаще всего на аксонометрических проекциях, когда деталь представляет собой

симметричную фигуру, вырезают одну четвертую часть детали. Ребра жесткости, если они попадают в секущую плоскость, штрихуются. Согласно ГОСТ 2.317–68 линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекции квадратов, расположенных в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям.

На рис. 9, б показано построение направлений линий штриховки на изометрических проекциях. Для этого на осях х, у, z (или линиях, им параллельным) откладывают равные отрезки и соединяют их концы. Для диметрических проекций (рис.9, г) на осях х и z откладывают равные отрезки, а на оси у – отрезок вдвое меньше.

[1]

Какое изображение предмета называется видом? Перечислите основные виды.

Что называется разрезом? Как различаются разрезы в зависимости от положения секущих плоскостей?

Что называется сечением? Назовите известные Вам виды сечений? Как обозначаются сечения?

Каковы правила нанесения на чертежах графических обозначений материалов (штриховок) в разрезах и сечениях?

Какой толщины должны быть размерные и выносные линии? На каком расстоянии друг от друга и от контурной линии проводятся размерные линии?

Что называется выносным элементом? Как обозначают выносные элементы?

В чем сущность аксонометрических проекций? Какие виды аксонометрии Вы знаете?

Что такое коэффициент искажения в аксонометрии? Каков масштаб изображения в прямоугольной изометрии? В прямоугольной диметрии?

Каково правило выбора направления штриховки вырезов на аксонометрических изображениях?

При подготовке к лабораторным работам и при ее выполнении необходимо обратиться к следующим источникам:

ЕСКД. Основные положения. — М.: Издательство стандартов, 2001.

ГОСТ 2.305–68. Изображения-виды, разрезы, сечения;

ГОСТ 2.306–68. Обозначения графические материалов и правила их нанесения на чертежах;

ГОСТ 2.307–68. Нанесение размеров и предельных отклонений;

ГОСТ 2.317–69. Аксонометрические проекции.

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Левицкий, В.С., Машиностроительное черчение /В. С. Левицкий. — М.: Высшая школа, 2001. (с. 110 – 126, 135 – 153, 127 – 128, 34 – 47)

Чекмарев, А.А., Инженерная графика / А. А. Чекмарев.- М.: Высшая школа, 2000.

Чекмарев, А.А. Справочник по машиностроительному черчению /А. А. Чекмарев, В.К. Осипов.- М.: Высшая школа, 2002. 2, (3, с. 46 –83, 87 – 91, 37 – 40).

Способы построения изометрической проекции плоских фигур, геометрических тел и деталей

Для выполнения изометрической проекции любой детали не­обходимо знать правила построения изометрических проекций плоских и объемных геометрических фигур.

Правила построения изометрических проекций геометриче­ских фигур. Построение любой плоской фигуры следует начи­нать с проведения осей изометрических проекций.

При построении изометрической проекции квадрата (рис. 109) из точки О по аксонометрическим осям откладывают в обе сто­роны половину длины стороны квадрата. Через полученные за­сечки проводят прямые, параллельные осям.

Читайте так же:  По двум проекциям построить третью

При построении изометрической проекции треугольника (рис. 110) по оси X от точки 0 в обе стороны откладывают отрезки, равные половине стороны треугольника. По оси У от точки О откладывают высоту треугольника. Соединяют полученные за­сечки отрезками прямых.

Рис. 109. Прямоугольная и изометрические проекции квадрата

Рис. 110. Прямоугольная и изометрические проекции треугольника

При построении изометрической проекции шестиугольника (рис. 111) из точки О по одной из осей откладывают (в обе сторо­ны) радиус описанной окружности, а по другой — H/2. Через полученные засечки проводят прямые, параллельные одной из осей, и на них откладывают длину стороны шестиугольника. Со­единяют полученные засечки отрезками прямых.

Рис. 111. Прямоугольная и изометрические проекции шестиугольника

Рис. 112. Прямоугольная и изометрические проекции круга

При построении изометрической проекции круга (рис. 112) из точки О по осям координат откладывают отрезки, равные его радиусу. Через полученные засечки проводят прямые, парал­лельные осям, получая аксонометрическую проекцию квадрата. Из вершин 1, 3 проводят дуги CD и KL радиусом 3С. Соединяют точки 2 с 4, 3 с С и 3 с D. В пересечениях прямых получаются центры а и б малых дуг, проведя которые получают овал, заме­няющий аксонометрическую проекцию круга.

Используя описанные построения, можно выполнить аксоно­метрические проекции простых геометрических тел (табл. 10).

[3]

10. Изометрические проекции простых геометрических тел

Способы построения изометрической проекции детали:

1. Способ построения изометрической проекции детали от формообразующей грани используется для деталей, форма кото­рых имеет плоскую грань, называемую формообразующей; ши­рина (толщина) детали на всем протяжении одинакова, на боко­вых поверхностях отсутствуют пазы, отверстия и другие элемен­ты. Последовательность построения изометрической проекции заключается в следующем:

1) построение осей изометрической проекции;

2) построение изометрической проекции формообразующей грани;

3) построение проекций остальных граней посредством изо­бражения ребер модели;

Рис. 113. Построение изометрической проекции детали, начиная от фор­мообразующей грани

4) обводка изометрической проекции (рис. 113).

  1. Способ построения изометрической проекции на основе по­следовательного удаления объемов используется в тех случаях, когда отображаемая форма получена в результате удаления из исходной формы каких-либо объемов (рис. 114).
  2. Способ построения изометрической проекции на основе по­следовательного приращения (добавления) объемов применяется для выполнения изометрического изображения детали, форма которой получена из нескольких объемов, соединенных опреде­ленным образом друг с другом (рис. 115).
  3. Комбинированный способ построения изометрической про­екции. Изометрическую проекцию детали, форма которой полу­чена в результате сочетания различных способов формообразо­вания, выполняют, используя комбинированный способ построе­ния (рис. 116).

Аксонометрическую проекцию детали можно выполнять с изображением (рис. 117, а) и без изображения (рис. 117, б) неви­димых частей формы.

Рис. 114. Построение изометрической проекции детали на основе последовательного удаления объемов

Рис. 115 Построение изометрической проекции детали на основе последовательного приращения объемов

Рис. 116. Использование комбинированного способа построения изометрической проекции детали

Рис. 117. Варианты изображения изометрических проекций детали: а — с изображением невидимых частей;
б — без изображения невидимых частей

Аксонометрические проекции

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается полезным наряду изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь более наглядные изображения. Для построения таких изображений применяются проекции, называемые аксонометрическими .

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данный предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система относится в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость α (Рисунок 4.1).

  • прямоугольные изометрические и диметрические;
  • косоугольные фронтально изометрические, горизонтально изометрические и фронтально диметрические;

Ниже приводятся параметры только трех наиболее часто применяемых на практике аксонометрических проекций.
Каждая такая проекция определяется положением осей, коэффициентами искажения по ним, размерами и направлениями осей эллипсов, расположенных в плоскостях, параллельных координатным плоскостям. Для упрощения геометрических построений коэффициенты искажения по осям, как правило, округляются.

4.1. Прямоугольные проекции

4.1.1. Изометрическая проекция

Направление аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.3.


Рисунок 4.3 – Аксонометрические оси в прямоугольной изометрической проекции

Действительные коэффициенты искажения по осям OX, OY и OZ равны 0,82. Но с такими значениями коэффициентов искажения работать не удобно, поэтому, на практике, используются приведенные коэффициенты искажений. Эта проекция обычно выполняется без искажения, поэтому, приведенные коэффициенты искажений принимается k = m = n =1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются в эллипсы, большая ось которых равна 1,22, а малая – 0,71 диаметра образующей окружности D.

Большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY, OZ и OX, соответственно.

Пример выполнения изометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.4.


Рисунок 4.4 – Изображение детали в прямоугольной изометрической проекции

4.1.2. Диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей проводится на Рисунке 4.5.

Для построения угла, приблизительно равного 7º10´, строится прямоугольный треугольник, катеты которого составляют одну и восемь единиц длины; для построения угла, приблизительно равного 41º25´ — катеты треугольника, соответственно, равны семи и восьми единицам длины.

Коэффициенты искажения по осям ОХ и OZ k=n=0,94 а по оси OY – m=0,47. При округлении этих параметров принимается k=n=1 и m=0,5. В этом случае размеры осей эллипсов будут: большая ось эллипса 1 равна 0,95D и эллипсов 2 и 3 – 0,35D (D – диаметр окружности). На Рисунке 4.5 большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY, OZ и OX, соответственно.

Пример прямоугольной диметрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.6.


Рисунок 4.5 – Аксонометрические оси в прямоугольной диметрической проекции

Рисунок 4.6 – Изображение детали в прямоугольной диметрической проекции

4.2 Косоугольные проекции

4.2.1 Фронтальная диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.7. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона к оси OY, равным 30 0 и 60 0 .

Коэффициент искажения по оси OY равен m=0,5 а по осям OX и OZ — k=n=1.

Читайте так же:  Отношения сложившиеся в семье

Рисунок 4.7 – Аксонометрические оси в косоугольной фронтальной диметрической проекции

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на плоскость XOZ без искажения. Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07D, а малая ось – 0,33D (D — диаметр окружности). Большая ось эллипса 2 составляет с осью ОХ угол 7º 14´, а большая ось эллипса 3 составляет такой же угол с осью OZ.

Пример аксонометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.8.

Как видно из рисунка, данная деталь располагается таким образом, чтобы её окружности проецировались на плоскость XОZ без искажения.

Рисунок 4.8 – Изображение детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции

4.3 Построение эллипса

4.3.1 Построения эллипса по двум осям

На данных осях эллипса АВ и СD строятся как на диаметрах две концентрические окружности (Рисунок 4.9, а).

Одна из этих окружностей делится на несколько равных (или неравных) частей.

Через точки деления и центр эллипса проводятся радиусы, которые делят также вторую окружность. Затем через точки деления большой окружности проводятся прямые, параллельные линии АВ.

Точки пересечения соответствующих прямых и будут точками, принадлежащими эллипсу. На Рисунке 4.9, а показана лишь одна искомая точка 1.


а б в
Рисунок 4.9 – Построение эллипса по двум осям (а), по хордам (б)

4.3.2 Построение эллипса по хордам

Диаметр окружности АВ делится на несколько равных частей, на рисунке 4.9,б их 4. Через точки 1-3 проводятся хорды параллельно диаметру CD. В любой аксонометрической проекции (например, в косоугольной диметрической) изображаются эти же диаметры с учетом коэффициента искажения. Так на Рисунке 4.9,б А1В1=АВ и С1 D1 = 0,5CD. Диаметр А 1В1 делится на то же число равных частей, что и диаметр АВ, через полученные точки 1-3 проводятся отрезки, равные соответственным хордам, умноженным на коэффициент искажение (в нашем случае – 0,5).

4.4 Штриховка сечений

Линии штриховки сечений (разрезов) в аксонометрических проекциях наносятся параллельно одной из диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (Рисунок 4.10: а – штриховка в прямоугольной изометрии; б – штриховка в косоугольной фронтальной диметрии).


а б
Рисунок 4.10 – Примеры штриховки в аксонометрических проекциях

Аксонометрические проекции

Название аксонометрическая происходит от древнегреческих слов аксон – ось и метрио – измеряю. Метод аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется на некоторую плоскость проекций, называемую аксонометрической плоскостью проекций или картинной плоскостью. В зависимости от вида проецирования аксонометрическая проекция называется:

Ø центральной – используется центральное проецирование;

Ø параллельной – используется параллельное проецирование.

Причем в последнем случае аксонометрическая проекция может быть косоугольной (при косоугольном проецировании) и ортогональной или прямоугольной (при ортогональном проецировании).

В нашем курсе мы рассмотрим лишь параллельную и ортогональную аксонометрические проекции. На рис.1.6 показана схема проецирования точки А на некоторую аксонометрическую плоскость проекций П по направлению проецирования S.

Прямые ОХ, ОY, ОZ являются осями натуральной системы координатОХYZ, а прямые ОХ, ОY, ОZ — осями аксонометрической системы координатОХYZ. Отрезок епринят за натуральную масштабную единицу, а отрезки ех, ey, еz — за аксонометрические масштабные единицы по соответствующим осям координат. Проекция точки А на горизонтальную плоскость ХОY обозначена А1.

Трёхзвенная пространственная линия ОАХА1А, определяющая положение точки А относительно натуральной системы координат ОХYZ, называется натуральной координатной ломаной. Звенья этой ломаной являются отрезками координат: ОАх — отрезок абсциссы, АхА1 — отрезок ординаты, А1А — отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной натуральной масштабной единицей е, называются натуральными координатами точки А:

; ; .

Точка A — аксонометрическая проекция точки А. Плоская ломаная ОАх0А10А, которая называется аксонометрической координатной ломаной, является проекцией натуральной координатной ломаной. Так как при параллельном проецировании сохраняется простое отношение трех точек, получим:

Мы получили основное свойство аксонометрических проекций: аксонометрические координаты точек, измеренные аксонометрическими масштабами, численно равны натуральным. Таким образом, особенность рассматриваемого метода аксонометрии заключается в том, что это есть координатный метод построения наглядного однокартинного чертежа, обладающего свойством обратимости.

Для удобства построения аксонометрических чертежей используют показатели искажения — отношения аксонометрического масштаба к натуральному масштабу:

; ; . (1.1)

Если все три коэффициента искажения равны между собой, аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой любые два коэффициента искажения, проекция называется диметрической; если все коэффициенты различны — проекция называется триметрической. При построении аксонометрических проекций обычно пользуются некоторыми величинами, пропорциональными коэффициентам искажения. Эти величины называются приведенными коэффициентами искажения.

[2]

Приведем теорему Польке, которая дает ответ на вопрос, как можно выбрать на чертеже аксонометрические оси и аксонометрические масштабы. Три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют собой параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на осях прямоугольной системы координат от ее начала.

Исходя из этой теоремы, можно взять на плоскости П три проходящие через одну точку несовпадающие прямые, отложить на них три произвольной длины отрезка ех, еy, еz и утверждать, что данную фигуру можно рассматривать, как параллельную проекцию прямоугольной системы координат ОХYZ с отложенными на ее осях масштабного коэффициента е. Следовательно, параллельная аксонометрическая проекция в общем случае определяется пятью независимыми параметрами: тремя аксонометрическими масштабами и двумя углами между аксонометрическими осями.

Плоскость аксонометрических проекций, пересекая плоскости натуральной системы координат, образует треугольник, называемый треугольником следов. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. Доказано, что в этом случае треугольник следов является остроугольным. При этом отрезок ОО перпендикулярен плоскости П (рис.1.7). Отрезки ОХ, О()Y, ОZ (аксонометрические проекции отрезков на осях координат) являются катетами прямоугольных треугольников, а сами отрезки на осях координат — гипотенузами. Отсюда:

Читайте так же:  Стать лучше группа

; ; .

Но эти отношения представляют собой коэффициенты искажения k, m, n. Следовательно, k=соs(j), m=соs(d), n=соs(g).

Справедлива следующая теорема: сумма квадратов показателей искажения в ортогональной аксонометрии равна двум:

k 2 +m 2 +n 2 =2. (1.2)

Из теоремы следует, что можно задаваться лишь двумя показателя искажения, а третий должен определяться по формуле (1.2). Выясним, какие значения могут принимать показатели искажения в ортогональной аксонометрии. Из формул (1.1) следует

Равенство одного из показателей искажения нулю, говорит о том, что соответствующая натуральная ось координат перпендикулярна к аксонометрической плоскости проекций П (соs90°=0), а две другие оси координат ей параллельны. Равенство одного из показателей единице означает, что соответствующая натуральная ось координат параллельна аксонометрической плоскости проекций П (соs0°=1).

Не всякие три числа, удовлетворяющие условию (1.3), могут являться показателями искажения. Из (1.3) следует, что

0£k 2 £1; 0£m 2 £1; 0£n 2 £1. (1.4)

Если принять во внимание условие (1.2), можно написать:

1£k 2 +m 2 £2; 1£k 2 +n 2 £2; 0£n 2 +m 2 £1. (1.5)

Следовательно, в ортогональной аксонометрической проекции величины коэффициентов искажения должны быть такими, чтобы сумма квадратов любых двух показателей искажения была бы не менее единицы и не более двух. Кроме того доказано, что показатели искажения определяют направления аксонометрических осей и, наоборот, заданием аксонометрических осей определяются и показатели искажения. Таким образом, ортогональная аксонометрическая проекция определяется двумя параметрами: двумя показателями искажения или двумя углами между аксонометрическими осями

Для косоугольной аксонометрии зависимость между показателями искажения выражается следующей формулой:

k 2 +m 2 +n 2 =2+ctg(a), (1.6)

где a — угол наклона направления проецирования к плоскости проекций. Из этой формулы следует, что в косоугольной аксонометрии показатели искажения должны удовлетворять следующим условиям:

0£k 2 +m 2 2 +n 2 2 +m 2

3. Косоугольная фронтальная изометрия. Показатели искажения следующие: k = m = n =1. Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис. 1.10.

4. Косоугольная горизонтальная изометрия. Показатели искажения следующие: k = m = n =1. Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис.1.11.

5. Косоугольная фронтальная диметрия. Показатели искажения k = n = 1, m =0.5. Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис.1.12.

Рис.1.10 Рис.1.11 Рис.1.12

5. Развитие геометрии: Эвклид Þ Лобачевский Þ Риман

Основные закономерности и свойства пространства, составляющие содержание элементарной геометрии, излагались еще до нашей эры в трудах греческих геометров. Особенно большое значение имели работы Эвклида, жившего в III веке до нашей эры. В своих «Началах» Эвклид изложил элементарную геометрию, которая получила название эвклидова геометрия. В основу своей геометрии Эвклид положил систему постулатов, на которых строится эта наука. Постулат означает требование. Эвклид так и пишет: «Нужно потребовать:

1. Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию.

2. Чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.

3. Чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

4. Чтобы все прямые углы были друг другу равны.

5. Чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых» (рис.1.13).

Пятый постулат, называемый как постулат о параллельных прямых, гораздо сложнее первых четырех и лишен их наглядности, потому, что речь здесь идет о неограниченном продолжении прямых. Он скорее похож на теорему, которая нуждается в доказательстве. Эвклид отводил пятому постулату особое место среди его аксиом. Изложение материала он разбил на две части. Сначала Эвклид рассматривает теоремы, которые можно доказать, не прибегая к помощи пятого постулата. Эта часть теперь называется абсолютной геометрией. Затем сгруппированы все теоремы, которые доказываются только на основе пятого постулата. Эту часть и называют собственно эвклидовой геометрией.

Многие математики последующих веков, считая пятый постулат теоремой, пытались его доказать. Однако в течении 2000 лет им этого сделать не удалось. Кроме новых формулировок[1] пятого постулата, других успехов не было. Так продолжалось до 11 февраля 1826 года, когда на заседании Ученого Совета Казанского университета профессор Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) сообщил о создании им новой геометрии, построенной на отрицании пятого постулата Эвклида.

Свою геометрию Лобачевский назвал воображаемой или пангеометрией. В противоположность постулату Эвклида, Лобачевский в основу построения теории параллельных линий положил следующую аксиому:

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Дата добавления: 2014-12-18 ; просмотров: 2275 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источники


  1. Старшенбаум, Г. В. Как стать семейным психологом / Г.В. Старшенбаум. — М.: Психотерапия, 2013. — 480 c.

  2. Вебер, Патрик Как решить проблемы в молодой семье, или Е-мое, кота опять стошнило!: моногр. / Патрик Вебер. — М.: Рипол Классик, 2016. — 192 c.

  3. Гиперактивный ребенок — это навсегда? Мамочка, пожалуйста. Ошибки аиста (комплект из 3 книг). — М.: ИГ «Весь», 2014. — 608 c.
  4. Качалов Кризис — Лучшее Время Для Роста. План 111 Мероприятий Роста / Качалов, Игорь. — М.: АСТ, 2015. — 352 c.
  5. Арбузова, Е. Н. Практикум по психологии общения / Е.Н. Арбузова, А.И. Анисимов, О.В. Шатровой. — М.: Речь, 2016. — 272 c.
Выполнить аксонометрическую проекцию
Оценка 5 проголосовавших: 1

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here